Question

6．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A₁C₁的中點．證明：
（1）EF∥平面A₁CD；
（2）若AB=BC=AC=AA₁=1，求V${\;}_{{A}_{1}-ABC}$．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點D，連接DE，A₁D，通過證明四邊形A₁DEF是平行四邊形得出EF∥A₁D，從而得出EF∥平面A₁CD；
（2）利用公式V${\;}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•A{A}_{1}$計算體積．

解答 （1）證明：取AB的中點D，連接DE，A₁D，
∵D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A₁C₁的中點，
∴DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，A₁F=$\frac{1}{2}$A₁C₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴AC=A₁C₁，
∴A₁F∥DE，A₁F=DE，
∴四邊形A₁DEF是平行四邊形，
∴EF∥A₁D，又EF?平面A₁CD，A₁D?平面A₁CD，
∴EF∥平面A₁CD．
（2）連接CD，
∵AB=BC=AC=1，∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V${\;}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•A{A}_{1}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎題．