Question

已知函數(shù)是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在（-1，1）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）由f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
∴，即=0，
∴b=0，
又，代入函數(shù)得a=1．
∴．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
證明：在（-1，1）上任取兩個值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1；
∴1-x₁x₂＞0，又
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
分析：（1）由f（-x）=-f（x）可求得b=0，又f（）=，可求得，從而可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在（-1，1）上任取兩個值x₁，x₂，且x₁＜x₂．再作差f（x₂）-f（x₁）化積，判斷乘積的符號即可．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，著重考查奇偶函數(shù)的定義及其單調(diào)性的定義及應(yīng)用，考查學(xué)生的規(guī)范意識，屬于中檔題．