4．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow$|=4|$\overrightarrow{a}$|，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

分析 利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)、兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ 的值．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow$|=4|$\overrightarrow{a}$|，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
則$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2${|\overrightarrow{a}|}^{2}$+|$\overrightarrow{a}$|•4|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=0，∴cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{2}{3}π$，
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

14．已知直線l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0（λ∈R），有下列四個(gè)結(jié)論：
①直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，-2）；
②當(dāng)λ∈[1，4+3$\sqrt{3}$]時(shí)，直線l的傾斜角θ∈[120°，135°]；
③若直線l在x軸和y軸上的截距相等，則λ=1；
④當(dāng)λ∈（0，+∞）時(shí)，直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為$\frac{8}{9}$．
其中正確結(jié)論的是②④（填上你認(rèn)為正確的所有序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

15．已知△ABC三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求角B的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=3sinx+4cosx，求f（B）的最大值及f（B）取得最大值時(shí)tanB的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)$f（x）=sin（\frac{7π}{6}-2x）+2{cos^2}x-1$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（A，\frac{1}{2}）$，b、a、c成等差數(shù)列，且△ABC的面積為$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

19．某樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是85，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為85.3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

9．f（x）=x3-ax2+a（a＞0）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的范圍為（　�。�
A．$（0，\frac{3}{2}）$B．$（0，\frac{{3\sqrt{3}}}{2}）$C．$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$D．以上都不對(duì)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

16．圓心坐標(biāo)為（-1，-1）且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是（　�。�
A．（x-1）2+（y-1）2=1B．（x+1）2+（y+1）2=1C．（x+1）2+（y+1）2=2D．（x-1）2+（y-1）2=2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

13．直線4x+y=4，mx+y=0和2x-3my=4不能構(gòu)成三角形，則m的個(gè)數(shù)為（　�。�
A．2B．3C．4D．5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

14．給出以下命題：
①若f′（x0）=0，則f（x0）為f（x）的極值．
②若f（x）的極大值為f（x1），f（x）的極小值為f（x2），則f（x1）＞f（x2）；
③△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，則△ABC是鈍角三角形；
④若函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$是減函數(shù)，則a∈$（{-∞，2\sqrt{2}}]$
⑤設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=$\frac{2S}{a+b+c}$；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P-ABC的體積為V，則R=$\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$
其中正確命題的序號(hào)為③④⑤．

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