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14.給出以下命題:
①若f′(x0)=0,則f(x0)為f(x)的極值.
②若f(x)的極大值為f(x1),f(x)的極小值為f(x2),則f(x1)>f(x2);
③△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC是鈍角三角形;
④若函數f(x)=cos2x+asinx在區(qū)間$(\frac{π}{4},\frac{π}{2})$是減函數,則a∈$({-∞,2\sqrt{2}}]$
⑤設△ABC的三邊長分別為a、b、c,△ABC的面積為S,內切圓半徑為r,則r=$\frac{2S}{a+b+c}$;類比這個結論可知:四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4,內切球的半徑為R,四面體P-ABC的體積為V,則R=$\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$
其中正確命題的序號為③④⑤.

分析 根據函數極值的性質,可判斷①②;根據正弦定理和余弦定理,可判斷③;根據復合函數的單調性,求出a的范圍,可判斷④;根據等積法,可判斷⑤.

解答 解:給出以下命題:
①令f(x)=x3,則f′(0)=0,但f(0)不是f(x)的極值,故錯誤.
②若f(x)的極大值為f(x1),f(x)的極小值為f(x2),但f(x1)與f(x2)的大小無法判斷,故錯誤;
③△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,即a2+b2<c2,此時cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$<0,則C為鈍角,則△ABC是鈍角三角形,故正確;
④函數f(x)=cos2x+asin x=-2sin2x+asin x+1,
令t=sin x,x∈$(\frac{π}{4},\frac{π}{2})$,則t∈($\frac{\sqrt{2}}{2}$,1)
此時t=sin x,x∈$(\frac{π}{4},\frac{π}{2})$為增函數,
y=f(x)=-2t2+at+1是減函數,
故$\frac{a}{4}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
則a∈$({-∞,2\sqrt{2}}]$,故正確;
⑤設△ABC的三邊長分別為a、b、c,△ABC的面積為S,內切圓半徑為r,則r=$\frac{2S}{a+b+c}$;
類比這個結論可知:四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4,內切球的半徑為R,四面體P-ABC的體積為V,則R=$\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$,故正確;
故答案為:③④⑤.

點評 本題以命題命題的真假判斷與應用為載體,考查了函數的極值,解三角形,復合函數的單調性,類比推理等知識點,難度中檔.

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