Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x∈[-2，2]），g(x)=a2sin(2x+

π

6

)+3a(x∈[0，

π

2

])，?x₁∈[-2，2]，?x0∈[0，

π

2

]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[0，1]

．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f（x）=x²（x∈[-2，2]），g(x)=a2sin(2x+

π

6

)+3a(x∈[0，

π

2

])，我們易求出兩個(gè)函數(shù)的值域A，B，又由?x₁∈[-2，2]?x0∈[0，

π

2

]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，故B⊆A，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²（x∈[-2，2]），
∴f（x）∈[0，4]
又∵g(x)=a2sin(2x+

π

6

)+3a(x∈[0，

π

2

])，
則g（x）∈[-

a2

2

+3a，a²+3a]
令A(yù)=[0，4]，B=[-

a2

2

+3a，a²+3a]
由，?x₁∈[-2，2]，?x0∈[0，

π

2

]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
則B⊆A
故

- a2 2 +3a≥0 a2+3a≤4 - a2 2 +3a≤a2+3a

解得0≤a≤1
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，1]
故答案為：[0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，三角函數(shù)的最值，集合的包含關(guān)系，其中根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)f（x）的值域A，與函數(shù)g（x）的值域B，存在B⊆A的關(guān)系，并進(jìn)一步得到一個(gè)關(guān)于a的不等式組，是解答本題的關(guān)鍵．