Question

函數(shù)f（x）=3lnx+1，g（x）=

1

2

ax²+2x+b   
（1）f（x）與g（x）在交點(diǎn)P（1，1）處有相同的切線，求a，b值；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=

3

x

，g′（x）=ax+2；從而由f（x）與g（x）在交點(diǎn)P（1，1）處有相同的切線得到f′（1）=g′（1），g（1）=

1

2

a+2+b=1，從而解得；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)h（x）并求定義域，再求導(dǎo)h′（x）=

3

x

-（ax+2）=

3-ax2-2x

x

，從而化h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間為h′（x）＜0有解，從而求得．

解答： 解：（1）由題意，f′（x）=

3

x

，g′（x）=ax+2；
∵f（x）與g（x）在交點(diǎn)P（1，1）處有相同的切線，
∴f′（1）=3=g′（1）=a+2，
g（1）=

1

2

a+2+b=1，
解得a=1，b=-

3

2

；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=3lnx+1-（

1

2

ax²+2x+b）的定義域?yàn)椋?，+∞），
h′（x）=

3

x

-（ax+2）=

3-ax2-2x

x

，
若使h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
則只需使h′（x）＜0有解，
即-ax²-2x+3＜0在（0，+∞）上有解，
若a＞0，成立，
若a=0，當(dāng)x＞

3

2

時(shí)成立；
若a＜0，∵-

-2

-2a

=-

1

a

＞0，
∴只需使△=4+4×3×a＞0；
故-

1

3

＜a＜0；
綜上所述，a的取值范圍為（-

1

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．