已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲線過原點(diǎn),且在x=±1處的切線斜率均為-1,有以下命題:
①f(x)的解析式為:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]
②f(x)的極值點(diǎn)有且僅有一個;
③f(x)的最大值與最小值之和等于零.
其中正確的命題是________.

①③
分析:首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)f(x)過原點(diǎn),列方程組求出f(x)的解析式;然后根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,且由f′(x)的最小值求出k的最大值,則命題①④得出判斷;最后令f′(x)=0,求出f(x)的極值點(diǎn),進(jìn)而求得f(x)的單調(diào)區(qū)間與最值,則命題②③得出判斷.
解答:函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象過原點(diǎn),可得c=0;
又f′(x)=3x2+2ax+b,且f(x)在x=±1處的切線斜率均為-1,
則有 ,解得a=0,b=-4.
所以f(x)=x3-4x,f′(x)=3x2-4.
①可見f(x)=x3-4x,因此①正確;
②令f′(x)=0,得x=±.因此②不正確;
所以f(x)在[-]內(nèi)遞減,
且f(x)的極大值為f(-)=,極小值為f( )=-,兩端點(diǎn)處f(-2)=f(2)=0,
所以f(x)的最大值為M=,最小值為m=-,則M+m=0,因此③正確.
故答案為:①③.
點(diǎn)評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),最大值與最小值等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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