Question

17．（1）求以A（-1，2），B（5，-6）為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程
（2）點(diǎn)P（a，b）在直線x+y+1=0上，求$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)，即為所求圓的圓心坐標(biāo)．再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出半徑AC之長(zhǎng)，即可得到所求圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）首先將$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$的最小值轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)P的距離的最小值，因?yàn)辄c(diǎn)P是直線x+y+1=0上的點(diǎn)，所以最小值即為點(diǎn)P到直線的距離．

解答 解：（1）設(shè)圓心為C（a，b），由A（-1，2）、B（5，-6），（2分）
結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得a=2，b=-2，可得C（2，-2）
∵|AC|=$\sqrt{（-1-2）^{2}（2+2）^{2}}$=5
∴圓的半徑r=|AC|=5，（5分）
因此，以線段AB為直徑的圓的方程是（x-2）²+（y+2）²=25．（7分）
（2）$\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（b-1）}^2}}$的最小值為點(diǎn)（1，1）到直線x+y+1=0的距離
而$d=\frac{3}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，${（\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}）_{min}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題以及點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．