Question

如圖，已知直線(xiàn)l：x=my+1過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線(xiàn)g：x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．（1）橢圓C的方程；（2）直線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時(shí)，探求λ₁+λ₂的值是否為定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否則，說(shuō)明理由；（3）接AE、BD，試證明當(dāng)m變化時(shí)，直線(xiàn)AE與BD相交于定點(diǎn)．

Answer 1

(1)
(2) 當(dāng)m變化時(shí)，λ₁+λ₂的值為定值；
(3)當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)

試題分析：（1）知橢圓右焦點(diǎn)F（1，0），∴c=1，
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，∴∴b²=3
∴a²=b²+c²=4∴橢圓C的方程  4分
（2）知m≠0，且l與y軸交于，
設(shè)直線(xiàn)l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由-  5分
∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴  6分
又由
∴
同理-  7分
∴
∵
∴
所以，當(dāng)m變化時(shí)，λ₁+λ₂的值為定值；  9分
（3）：由（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
方法1）∵   10分
當(dāng)時(shí)，=
=  12分
∴點(diǎn)在直線(xiàn)l_AE上，  13分
同理可證，點(diǎn)也在直線(xiàn)l_BD上；
∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)  14分
方法2）∵  10分
-  11分
=  12分
∴k_EN=k_AN∴A、N、E三點(diǎn)共線(xiàn)，
同理可得B、N、D也三點(diǎn)共線(xiàn)；  13分
∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)．  14分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于橢圓的幾何性質(zhì)的表示，以及聯(lián)立方程組的思想結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)求解，屬于基礎(chǔ)題。