Question

5．設f（x）=（lnx）ln（1-x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f′（x）的零點．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（$\frac{1}{2}$），f′（$\frac{1}{2}$），求出切線方程即可；
（2）令f′（x）=0，即（1-x）ln（1-x）-xlnx=0，令h（x）=（1-x）ln（1-x）-xlnx，（0＜x＜1），根據函數(shù)的單調性求出函數(shù)的零點即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（1-x）ln（1-x）-xlnx}{x（1-x）}$，
故f（$\frac{1}{2}$）=ln²$\frac{1}{2}$，f′（$\frac{1}{2}$）=0，
故切線方程是：y=ln²$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得，令f′（x）=0，即（1-x）ln（1-x）-xlnx=0，
令h（x）=（1-x）ln（1-x）-xlnx，（0＜x＜1），
則h′（x）=lnx（1-x），h″（x）=$\frac{1-2x}{x（1-x）}$，
令h″（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令h″（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故h′（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，
故h′（x）＜h′（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{4}$＜0，
故h（x）在（0，1）遞減，
而h（$\frac{1}{2}$）=0，
故h（x）在（0，1）的零點是x=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．