Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n是其前項(xiàng)和，若a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2且a_n+1a_n+2≠1，則a₁+a₂+a₃=

 

；S₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：a₁=1，a₂=2和后面的等式可知第三項(xiàng)是3，得到第一個(gè)結(jié)論，我們這樣考慮，當(dāng)?shù)诙�、三�?xiàng)是2、3時(shí)，第四項(xiàng)又是1，當(dāng)?shù)谌�、四�?xiàng)是3、1時(shí)，第五項(xiàng)又是2，以此類推，可知數(shù)列是周期為3的數(shù)列，結(jié)果可得．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
∴a₃=3，
∴a₁+a₂+a₃=6，
∵a₂=2，a₃=3，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
∴a₄=1，
以此類推得到從第五項(xiàng)開(kāi)始依次是2、3、1、2、3、1…
∴S₂₀₁₁=670×6+2=4022，
故答案為：6，4022．

點(diǎn)評(píng)：該題的解題思路是從所給條件出發(fā)，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，著重考查了歸納、概括和數(shù)學(xué)變換的能力．