Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過點（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f′（x）+6x的圖象關于y軸對稱．
（Ⅰ）求m、n的值及函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a-1，a+1）內的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件的到兩個關于m、n的方程，求出m、n的值，再找函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)大于0和小于0對應的區(qū)間即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，分情況討論區(qū)間（a-1，a+1）和單調區(qū)間的位置關系再得結論．

解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）圖象過點（-1，-6），得m-n=-3，①
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，
則g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n；
而g（x）圖象關于y軸對稱，所以-

2m+6

2×3

=0，所以m=-3，
代入①得n=0．
于是f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
由f′（x）＞得x＞2或x＜0，
故f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2．
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

由此可得：
當0＜a＜1時，f（x）在（a-1，a+1）內有極大值f（O）=-2，無極小值；
當a=1時，f（x）在（a-1，a+1）內無極值；
當1＜a＜3時，f（x）在（a-1，a+1）內有極小值f（2）=-6，無極大值；
當a≥3時，f（x）在（a-1，a+1）內無極值．
綜上得：當0＜a＜1時，f（x）有極大值-2，無極小值，當1＜a＜3時，f（x）有極小值-6，無極大值；當a=1或a≥3時，f（x）無極值．

點評：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性、極值、導數(shù)、不等式等基礎知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法，以及分類與整合、轉化與化歸等數(shù)學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．