Question

（2012•朝陽區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=cos(x-

π

4

)．
（Ⅰ）若f(α)=

7 2

10

，求sin2α的值；
（II）設(shè)g(x)=f(x)•f(x+

π

2

)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)f（x）表達(dá)式，結(jié)合兩角差的余弦公式化簡整理，得cosα+sinα=

7

5

．再將兩邊平方，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系和二倍角的正弦公式，可得sin2α的值；
（II）將f（x）表達(dá)式代入，利用兩角和與差的余弦公式展開，并用二倍角的余弦公式化簡整理，得g（x）=

1

2

cos2x．最后結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得到函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(α)=cos(α-

π

4

)=

7 2

10

，
∴

2

2

(cosα+sinα)=

7 2

10

，得 cosα+sinα=

7

5

．
兩邊平方得，sin²α+2sinαcosα+cos²α=

49

25

，
即1+sin2α=

49

25

，可得sin2α=

24

25

．…（6分）
（II）g(x)=f(x)•f(x+

π

2

)=cos(x-

π

4

)•cos(x+

π

4

)
=

2

2

(cosx+sinx)•

2

2

(cosx-sinx)
=

1

2

(cos2x-sin2x)=

1

2

cos2x．…（10分）
當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]．
所以，當(dāng)x=0時，g（x）的最大值為

1

2

；當(dāng)x=

π

3

時，g（x）的最小值為-

1

4

．
即函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值為g（0）=

1

2

，最小值為g（

π

3

）=-

1

4

．…（13分）

點評：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，要求我們將另一個函數(shù)化簡后求它的最大最小值，著重考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和與差的余弦公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．