Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-3n（n∈N₊）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）設b_n=a_n+3，證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求通項公式a_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-3n（n∈N₊）．能求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）由S_n=2a_n-3×n，求出a_n+1=2a_n+2，從而能證明數(shù)列{b_n}是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出通項公式a_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-3n（n∈N₊）．
∴n=1時，由a₁=S₁=2a₁-3×1，解得a₁=3，
n=2時，由S₂=2a₂-3×2，得a₂=9，
n=3時，由S₃=2a₃-3×3，得a₃=21．
（2）∵S_n=2a_n-3×n，∴S_n+1=2a_n+1-3×（n+1），
兩式相減，得a_n+1=2a_n+2，*
把b_n=a_n+3及b_n+1=a_n+1+3，代入*式，
得b_n+1=2b_n，（n∈N*），且b₁=6，
∴數(shù)列{b_n}是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=6×2^n-1，
∴${a}_{n}=_{n}-3=6×{2}^{n-1}-3=3（{2}^{n}-1）$．

點評 本題考查數(shù)列中前3項的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．