Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝.

(1)求f(x)的定義域及最小正周期；

(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

Answer 1

【答案】(1) 詳見解析;(2) [kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋]k∈Z.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域,再根據(jù)二倍角公式和兩角和與差的正弦公式化簡,得到函數(shù)的最小正周期;(2)由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.

試題解析:

(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定義域為{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}．

∴f(x)＝

＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1

＝sin(2x－)－1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)函數(shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋]k∈Z.

點睛:本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,屬于中檔題目.三角函數(shù)的化簡往往利用誘導(dǎo)公式,兩角和與差的公式以及二倍角公式化為函數(shù)形式,再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性,單調(diào)區(qū)間,周期性和對稱性等求解.