Question

已知

a

，

b

是兩個互相垂直的單位向量，且

c

•

a

=1，

c

•

b

=1，|

c

|=

2

，則對任意的正實數(shù)t，|

c

+t

a

+

1

t

b

|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：用向量垂直的條件數(shù)量積為零，再利用模的平方等于向量的平方得到關(guān)于t的函數(shù)，函數(shù)的特點是乘積為定值，用基本不等式求最小值．

解答：解：∵

a

，

b

是兩個互相垂直的單位向量
∴

a

•

b

=0
∴|

c

+t

a

+ 

1

t

b

|2=(

c

+t

a

+

1

t

b

)2=

c

2+t2

a

2+

1

t2

b

2+2(t

a

•

c

+

a

•

b

 +

1

t

b

•

c

)
=t2+

1

t2

+ 2t+

2

t

+2≥2+4+2=8
當(dāng)且僅當(dāng)t2=

1

t2

且  2t=

2

t

即t=1時取等號
故|c+ta+

1

t

b|的最小值為2

2

點評：向量求模的方法是根據(jù)模的平方等于向量的平方；用基本不等式求最值時要注意：一正、二定、三相等．