Question

17．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂是其左右焦點(diǎn)，其橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于短軸長(zhǎng)的2倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=90°，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓方程為x²+4y²-4b²=0，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出P的橫坐標(biāo)，利用橢圓焦半徑公式可得|PF₁|=$2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，|PF₂|=$2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，由勾股定理求出P的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程可得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可知a=2b，則橢圓方程為x²+4y²-4b²=0，
把（2，1）代入可得：2²+4×1²-4b²=0，即b²=2．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，得a²=8，b²=2，
∴c²=a²-b²=6，則a=$2\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)P的橫坐標(biāo)為x₀，則|PF₁|=$2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，|PF₂|=$2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，
∵∠F₁PF₂=90°，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}$，即$（2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}）^{2}+（2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}）^{2}=4×6$，
解得${{x}_{0}}^{2}=\frac{16}{3}$，${x}_{0}=±\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，可得y=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）、P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}，-\frac{\sqrt{6}}{3}$）、P（$-\frac{4\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）、P（$-\frac{4\sqrt{3}}{3}，-\frac{\sqrt{6}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了焦半徑公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．