Question

已知a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對的邊；
（1）若△ABC面積S△ABC=

3

2

，c=2，且A、B、C成等差數列，求a、b的值；
（2）若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，A、B、C成等差數列⇒B=60°，再由S_△ABC=

3

2

，c=2，可求得a，利用余弦定理可求b；
（2）利用正弦定理可將acosA=bcosB轉化為sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦與三角形的性質計算即可．

解答：解：（1）∵A、B、C成等差數列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
∵S_△ABC=

3

2

，c=2，
∴

1

2

acsinB=

3

2

解得a=1，
由余弦定理知，b=

a2+c2-2accosB

=

(2)2+(1)2-2×2×1×cos π 3

=

3

；
（2）∵acosA=bcosB，
∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵0＜A，B＜π，
∴2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=

π

2

．
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．

點評：本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理與余弦定理的應用，考查二倍角的正弦與誘導公式的應用，屬于中檔題．