設(shè)函數(shù)f(x)=
ax
+xlnx,g(x)=x3-x2-3.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
(2)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;
(3)如果對(duì)任意的s,t∈[1,2],都有f(s)≥g(t)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù),從而求出切線的斜率,最后用直線的斜截式表示即可;
(2)存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立等價(jià)于:[g(x1)-g(x2)]max≥M,先求導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的極值點(diǎn),通過(guò)比較與端點(diǎn)的大小從而確定出最大值和最小值,從而求出[g(x1)-g(x2)]max,求出M的范圍;
(3)問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)≥g(x)max,可轉(zhuǎn)化為a≥x-x2lnx恒成立,令h(x)=x-x2lnx,利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的最大值即可求出參數(shù)a的范圍.
解答:解:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=
2
x
+xlnx
,f′(x)=-
2
x2
+lnx+1,f(1)=2,f′(1)=-1,
所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y-2=-(x-1),即y=-x+3;
(2)存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等價(jià)于:[g(x1)-g(x2)]max≥M,
考察g(x)=x3-x2-3,g′(x)=3x2-2x=3x(x-
2
3
),
當(dāng)0≤x<
2
3
時(shí),g′(x)≤0,g(x)遞減;當(dāng)
2
3
<x≤2
時(shí),g′(x)>0,g(x)遞增;
所以g(x)min=g(
2
3
)=-
85
27
,g(x)max=g(2)=1,[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=
112
27
,
所以M
112
27
,所以滿足條件的最大整數(shù)M=4;
(3)當(dāng)對(duì)任意的s,t∈[1,2],都有f(s)≥g(t)成立,
等價(jià)于對(duì)任意x∈[1,2]時(shí),f(x)≥g(x)max,即
a
x
+xlnx≥1,
所以a≥x-x2lnx,
令h(x)=x-x2lnx,則h′(x)=1-2xlnx-x,h′(1)=0,
令m(x)=1-2xlnx-x,m′(x)=-3-2lnx<0,
所以m(x)在[1,2]上遞減,m(x)≤m(1)=0,即h′(x)≤0,
所以h(x)在[1,2]上遞減,故h(x)≤h(1)=1,
所以a≥1
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在(a,b)內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f(a),f(b) 比較而得到的,以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,考查了劃歸與轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
xx-1
(x>1),若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),b是從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),求f(x)>b恒成立的概率.

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12
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-1
-1

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精英家教網(wǎng)設(shè)函數(shù)f(x)=(a
x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是( 。
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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