Question

如圖，DC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=

1

2

BC=λCD，點E在BD上，點E在BC上的射影為F，且BE=3ED．
（1）求證：BC⊥平面AEF；
（2）若二面角F-AE-C的大小為45°，求λ的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得DC⊥BC，從而EF∥CD，∠ABF=30°，進而△BAF∽△BCA，由此能證明BC⊥平面AEF．
（2）過F作FG⊥AE于G點，連GC，由已知得∠FGC為F-AE-C的平面角，由此能求出λ=

6

2

．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC
∵EF⊥BC，∴EF∥CD…1′
又∵∠BAC=90°，AC=

1

2

BC，
∴∠ABF=30°，…2′
∴AB=

3

2

BC，

BE

BD

=

BF

BC

=

3

4

，BF=

3

4

BC，
∴

BF

AB

=

AB

BC

=

3

2

，
∴△BAF∽△BCA，∴∠BFA=90°，即AF⊥BC；…5′
∵EF⊥BC，又AF∩EF=F，
∴BC⊥平面AEF．…7′
（2）解：過F作FG⊥AE于G點，連GC
由BC⊥平面AEF，知AE⊥BC，
得AE⊥平面FGC，…9′
所以AE⊥CG，所以∠FGC為F-AE-C的平面角，即∠FGC=45°…11′
設(shè)AC=1，則AF=

3

2

，EF=

3

4λ

，CF=

1

2

，
則在RT△AFE中GF=

3

2 3+4λ2

，
在RT△CFG中∠FGC=45°，則GF=CF，
即

3

2 3+4λ2

=

1

2

，解得λ=

6

2

．…14′
（注：若用其他正確的方法請酌情給分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．