Question

14．拋物線y²=4x，直線l過焦點F，與其交于A，B兩點，且$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，則△AOB（O為坐標原點）面積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點，設直線l為x=my+1，代入拋物線方程，運用韋達定理和向量的坐標表示，解得m，再由三角形的面積公式，計算即可得到．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點為（1，0），
設直線l為x=my+1，代入拋物線方程可得，
y²-4my-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
由$\overrightarrow{BA}$=4$\overrightarrow{BF}$，可得y₁=-3y₂，
由代入法，可得m²=$\frac{1}{3}$，
又△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{{y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

點評 本題考查直線和拋物線的位置關系的綜合應用，主要考查韋達定理和向量的共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．