Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段圖象如圖所示． 
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并指出f（x）的最大值及取到最大值時x的集合；
（3）把f（x）的圖象向左至少平移多少個單位，才能使得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和最大值，求得f（x）的最大值及取到最大值時x的集合．
（3）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由函數(shù)的圖象可得A=3，

3

4

T=

3

4

•

2π

ω

=4π-

π

4

，解得ω=

2

5

．
再根據(jù)五點法作圖可得

2

5

×

π

4

+φ=0，求得φ=-

π

10

，∴f（x）=3sin（

2

5

x-

π

10

）．
（2）令2kπ-

π

2

≤

2

5

x-

π

10

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 5kπ-π≤x≤5kπ+

3π

2

，故函數(shù)的增區(qū)間為[5kπ-π，5kπ+

3π

2

]，k∈z．
函數(shù)的最大值為3，此時，

2

5

x-

π

10

=2kπ+

π

2

，即 x=5kπ+

3π

2

，k∈z，即f（x）的最大值為3，及取到最大值時x的集合為{x|x=5kπ+

3π

2

，k∈z}．
（3）設(shè)把f（x）=3sin（

2

5

x-

π

10

）的圖象向左至少平移m個單位，才能使得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)[即y=3sin（

2

5

x+

π

2

）]．
則由

2

5

（x+m）-

π

10

=

2

5

x+

π

2

，求得m=

3

2

π，
把函數(shù)f（x）=3sin（

2

5

x-

π

10

）的圖象向左平移

3

2

π個單位，可得y=3sin（

2

5

x+

π

2

）=3cos

2

5

x 的圖象．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．