Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5．函數(shù)y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)，且在[1，4]上是二次函數(shù)，在x=2時(shí)函數(shù)取最小值-5．試求：
（1）f（1）+f（4）的值；
（2）y=f（x），x∈[1，4]的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由周期性可得f（4）=f（-1），再由奇函數(shù)可得f（-1）=-f（1）=f（4），移項(xiàng)可得；（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)設(shè)f（x）=a（x-2）²-5（a≠0），由f（1）+f（4）=0可得a的方程，解方程可得．

解答： 解：（1）∵y=f（x）是以5為周期的周期函數(shù)，
∴f（4）=f（5-1）=f（-1），
又y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1）=f（4），
∴f（1）+f（4）=0；
（2）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，
由題意可知f（x）=a（x-2）²-5（a≠0）
由f（1）+f（4）=0得a（1-2）²-5+a（4-2）²-5=0．
解得a=2．
∴f（x）=2（x-2）²-5=2x²-8x+3（1≤x≤4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及周期性和奇偶性以及待定系數(shù)法求解析式，屬基礎(chǔ)題．