Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）+

3

cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）-m=2在x∈[0，

π

2

]上有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)進行化簡即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）在x∈[0，

π

2

]的取值情況，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=2sin²（

π

4

+x）+

3

cos2x=1-cos（

π

2

+2x）+

3

cos2x=1+sin2x+

3

cos2x=1+2sin（2x+

π

3

），
由由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．k∈Z．
（Ⅱ）由f（x）-m=2得f（x）=m+2，
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
由圖象得f（0）=1+2sin

π

3

=1+

3

，
函數(shù)f（x）的最大值為1+2=3，
∴要使方程f（x）-m=2在x∈[0，

π

2

]上有兩個不同的解，
則f（x）=m+2在x∈[0，

π

2

]上有兩個不同的解，
即函數(shù)f（x）和y=m+2在x∈[0，

π

2

]上有兩個不同的交點，
即1+

3

≤m+2＜3，
即

3

-1≤m＜1．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．