Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，若對任意給定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=2a²y²+ay，則正實(shí)數(shù)a的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． 4

Answer 1

分析 由已知函數(shù)解析式得到函數(shù)值域，結(jié)合存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=2a²y²+ay，可得f（f（x））＞1，即f（x）＞2，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為2a²y²+ay＞1，y∈（2，+∞），求解不等式得到y(tǒng)的范圍，進(jìn)一步得到a的范圍得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$的值域?yàn)镽．
∵f（x）=2^x，（x≤0）的值域?yàn)椋?，1]；f（x）=log₂x，（x＞0）的值域?yàn)镽．
∴f（x）的值域?yàn)椋?，1]上有兩個解，
要想f（f（x））=2a²y²+ay在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R滿足，
必有f（f（x））＞1 （2a²y²+ay＞0）．
∴f（x）＞2，即log₂x＞2，解得：x＞4．
當(dāng)x＞4時，x與f（f（x））存在一一對應(yīng)的關(guān)系．
∴問題轉(zhuǎn)化為2a²y²+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0．
∴（2ay-1）（ay+1）＞0，解得：y＞$\frac{1}{2a}$或者y＜-$\frac{1}{a}$（舍去）．
∴$\frac{1}{2a}$≤2，得a$≥\frac{1}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，難度較大．