Question

10．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+1=0，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+\sqrt{3}t\\ y=\sqrt{3}+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），點(diǎn)A的極坐標(biāo)為$（{2\sqrt{3}，\frac{π}{6}}）$，設(shè)直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）將參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{{\sqrt{3}t}}{2}\\ y=\sqrt{3}+\frac{t}{2}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$與（x-2）²+y²=3聯(lián)立得${t^2}+2\sqrt{3}t+1=0$，由韋達(dá)定理得：t₁t₂=1，|AP||AQ|=1；將直線$θ=\frac{π}{6}（ρ∈R）$的極坐標(biāo)方程與圓的極坐標(biāo)方程ρ²-4ρcosθ+1=0，聯(lián)立得：${ρ^2}-2\sqrt{3}ρ+1=0$，由韋達(dá)定理得：ρ₁ρ₂=1，即|OP||OQ|=1，即可求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

解答 解：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3…2分
直線的普通方程為$x-\sqrt{3}y=0$…4分
（2）點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為$（3，\sqrt{3}）$，設(shè)點(diǎn)P，Q對應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，
點(diǎn)P，Q的極坐標(biāo)方程為$（{ρ_1}，\frac{π}{6}）Q（{ρ_2}，\frac{π}{6}）$，
將參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{{\sqrt{3}t}}{2}\\ y=\sqrt{3}+\frac{t}{2}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$與（x-2）²+y²=3聯(lián)立得${t^2}+2\sqrt{3}t+1=0$，
由韋達(dá)定理得：t₁t₂=1，|AP||AQ|=1…6分，
將直線$θ=\frac{π}{6}（ρ∈R）$的極坐標(biāo)方程與圓的極坐標(biāo)方程ρ²-4ρcosθ+1=0
聯(lián)立得：${ρ^2}-2\sqrt{3}ρ+1=0$，由韋達(dá)定理得：ρ₁ρ₂=1，即|OP||OQ|=1…8分，
所以，|AQ||AP||OP||OQ|=1…10分．

點(diǎn)評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．