Question

6．如圖，OPQ是半徑為2，圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的一動(dòng)點(diǎn)，記∠COP=θ，四邊形OPCQ的面積為S．
（1）找出S與θ的函數(shù)關(guān)系；
（2）試探求當(dāng)θ取何值時(shí)，S最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析 （1）由面積公式即可得到S與θ的函數(shù)關(guān)系．
（2）對(duì)三角函數(shù)化簡(jiǎn)，由θ的范圍，得到S的最大值．

解答 解：（1）∵S=S_△OPC+S_△OQC=$\frac{1}{2}$OP•0Csin∠POC+$\frac{1}{2}$OQ•OCsin∠QOC
=2sinθ+2sin（$\frac{π}{3}$-θ）（θ∈（0，$\frac{π}{3}$））
（2）由（1）知，S=2sinθ+2sin（$\frac{π}{3}$-θ）
=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）
∵θ∈（0，$\frac{π}{3}$），∴θ+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）
∴當(dāng)θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{6}$時(shí)，S最大，為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積公式以及對(duì)三角函數(shù)化簡(jiǎn)．