某省級示范高中2015年有向甲、乙、丙三所大學(xué)推薦保送生的名額，根據(jù)這三所大學(xué)保送生推薦的條件，該校共有四名學(xué)生符合推薦條件學(xué)校按照保送生推選的程序，首先由這四名學(xué)生各自自主申請，每位申請人只能申請一所大學(xué)的保送名額，已知這四名學(xué)生申請其中任一所大學(xué)都是等可能的，而且他們在申請時互不影響．
（1）求恰有兩位學(xué)生都申請甲這所大學(xué)的概率；
（2）記這四位學(xué)生所申請的大學(xué)的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）對于（2）中的ξ，設(shè)“函數(shù)f（x）=3sin
x+ξ
2
π，x∈R是偶函數(shù)”為事件D，求事件D發(fā)生的概率．
考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差
專題：計算題,概率與統(tǒng)計
分析：（1）四位學(xué)生申請大學(xué)共有3×3×3×3=81種，恰有兩位學(xué)生都申請甲這所大學(xué)有
C
2
4
•2•2=24種，從而示概率；
（2）ξ的取值有1，2，3；分別求概率得到分布列，并求數(shù)學(xué)期望；
（3）由古典概型概率公式求概率．
解答： 解：（1）四位學(xué)生申請大學(xué)共有3×3×3×3=81種，
恰有兩位學(xué)生都申請甲這所大學(xué)有
C
2
4
•2•2=24種，
故恰有兩位學(xué)生都申請甲這所大學(xué)的概率為
24
81
=
8
27
；
（2）由題意，ξ的取值有1，2，3；
故分布列為
ξ123
P
1
27
14
27
4
9
數(shù)學(xué)期望Eξ=1×
1
27
+2×
14
27
+3×
4
9
=
65
27
；
（3）在1，2，3中，函數(shù)f（x）=3sin
x+ξ
2
π，x∈R是偶函數(shù)時，ξ=1或3；
故事件D發(fā)生的概率為
2
3
．
點評：本題考查了離散型隨機變量的概率及數(shù)學(xué)期望的求法，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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求y=-
1
3
x3+2x2-3x+4的切線傾斜角范圍．

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已知函數(shù)f（x）=（x2+ax+b）e-x在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

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某種報紙，進貨商當(dāng)天以每份進價1元從報社購進，以每份售價2元售出．若當(dāng)天賣不完，剩余報紙報社以每份0.5元的價格回收．根據(jù)市場統(tǒng)計，得到這個季節(jié)的日銷售量X（單位：份）的頻率分布直方圖（如圖所示），將頻率視為概率．
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；
（Ⅱ）若進貨量為n（單位：份），當(dāng)n≥X時，求利潤Y的表達式；
（Ⅲ）若當(dāng)天進貨量n=400，求利潤Y的分布列和數(shù)學(xué)期望E（Y）（統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表）．

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函數(shù)f（x）=mx2-4x+m-3的值恒為負，則實數(shù)m的取值范圍為
 
．

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已知圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x-1）2+（y-4）2=1，動圓C平分C1，C2的周長，求動圓C圓心的軌跡方程．

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如圖，有一張長為8，寬為4的矩形紙片ABCD，按如圖所示方法進行折疊，使每次折疊后點B都落在AD邊上，此時記為B′（注：圖中EF為折痕，點F也可落在CD邊上）過點B′作B′T∥CD交EF于點T，求點T的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+1的單調(diào)減區(qū)間為（0，2）
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，2]時，不等式mf′（x）+9m＞x恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若過點A（3，0）的直線l與C：（x-1）2+y2=1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為
 
．

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