Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ （a∈R）．
（1）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的值；
（2）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=alnx+ +2，定義域是（0，+∞），

∵f′（x）= ，

∵f（x）在x=2處取得極小值，故f′（2）=0，

即4a+4a﹣2+a=0，解得：a= ，

經(jīng)檢驗(yàn)a= 時(shí)，f（x）在x=2處取得極小值

（2）解：∵f′（x）= ，

若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則f′（x）＜0有正數(shù)解，

即a（x2+2x+1）＜x有x＞0的解，

即a＜ 有x＞0的解，

問(wèn)題等價(jià)于a＜ ，x＞0，

∵ = ≤ 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=“，

∴ = ，

∴a＜

【解析】（1）首先求導(dǎo)由已知可得f′（2）=0即可得出a的值。（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得f′（x）＜0有正數(shù)解，由式子的幾何意義可得a（x2+2x+1）＜x有x＞0的解的情況即a＜ 有x＞0的解，等價(jià)于a小于該分式的最大值再利用基本不等式求出這個(gè)值即可。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．