Question

【題目】曲線(xiàn)C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）的距離之積等于9的點(diǎn)的軌跡．給出下列命題： ①曲線(xiàn)C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線(xiàn)C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)；
③若點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，則△F1PF2的周長(zhǎng)有最小值10；
④若點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，則△F1PF2面積有最大值 ．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設(shè)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y），則[（x+2）2+y2][（x﹣2）2+y2]=81，

①把x=0，y=0代入上式得1=81，故曲線(xiàn)C不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；

②把（﹣x，y）代入上式得[（﹣x+2）2+y2][（﹣x﹣2）2+y2]=[（x﹣2）2+y2][（x+2）2+y2]=81，

∴曲線(xiàn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

把（x，﹣y）代入上式顯然也成立，故曲線(xiàn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故②正確；

③∵|PF1|+|PF2|≥2 =2 =6，

∴△F1PF2的周長(zhǎng)為|PF1|+|PF2|+|F1F2|≥6+4=10，故③正確；

④△F1PF2面積S= =2y，∴S2=4y2，

∵[（x+2）2+y2][（x﹣2）2+y2]=81，∴y4+（2x2+8）y2+（x2﹣4）2﹣81=0，

∴y2= ﹣x2﹣4或y2=﹣ ﹣x2﹣4（舍）．

設(shè) =t，則x2= ，

∴y2=t﹣ ﹣4=﹣ t2+t﹣ =﹣ （t﹣12）2+ ，

∴當(dāng)t=12時(shí)，y2取得最大值 ，即S的最大值為2 ，故④錯(cuò)誤．

故選C．