Question

橢圓

x2

16

+

y2

4

=1，過右焦點F且斜率為k（k＞O）的直線與橢圓交于A，B兩點，若

AF

=3

FB

，則k=（　�。�

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到橢圓的右焦點F(2

3

，0)，過右焦點F且斜率為k（k＞O）的直線為my=x-2

3

，其中m=

1

k

．與橢圓的方程聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及若

AF

=3

FB

，即可得到m，進(jìn)而得到k．

解答：解：∵c²=a²-b²=16-4=12，∴c=2

3

．
∴橢圓的右焦點F(2

3

，0)．
∴過右焦點F且斜率為k（k＞O）的直線為my=x-2

3

，其中m=

1

k

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

my=x-2 3 x2 16 + y2 4 =1

消去x得到(4+m2)y2+4

3

my-4=0．
∴y1+y2=

-4 3

4+m2

，y1y2=

-4

4+m2

．
∵

AF

=3

FB

，∴-y₁=3y₂，
把以上三式聯(lián)立消去y₁，y₂，得到m2=

1

2

，∴(

1

k

)2=

1

2

，即k²=2．
又∵k＞0，∴k=

2

．
故選B．

點評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、把直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．