Question

已知點P_n（a_n，b_n）（n∈N）滿足a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=，且點P₁的坐標(biāo)為（1，-1）．
（Ⅰ）求經(jīng)過點P₁，P₂的直線l的方程；
（Ⅱ） 已知點P_n（a_n，b_n）（n∈N）在P₁，P₂兩點確定的直線l上，求數(shù)列{a_n}通項公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求對于所有n∈N，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥k成立的最大實數(shù)k的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為 =，所以a₂=a₁b₂=．所以P₂（ ，）．
所以過點P₁，P₂的直線l的方程為 2x+y=1．
（Ⅱ）∵已知點P_n（a_n，b_n）（n∈N）在P₁，P₂兩點確定的直線l上，
∴2a_n+b_n=1．
由a_n+1=a_nb_n+1 可得 a_n+1=a_n（1-2a_n+1），
∴=，即-=2，故{}是公差等于2的等差數(shù)列．
所以=1+2（n-1）=2n-1，所以a_n=．
（Ⅲ）由上可得 b_n=1-2a_n=．依題意 k≤（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n） 恒成立．
設(shè)F（n）=（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n），所以只需求滿足 k≤F（n）的F（n）的最小值．
∵==（1+a_n+1）==＞1，
所以F（n） （x∈N^*）為增函數(shù)．
所以F（n）_min=F（1）==．
所以 k≤．
所以k_max=．
分析：（Ⅰ）先求出a₂ 和b₂ 的值，即可得到P₂ 的坐標(biāo)，用兩點式求得過點P₁，P₂的直線l的方程．
（Ⅱ）把已知點P_n的坐標(biāo)代入直線l的方程可得 2a_n+b_n=1，化簡可得-=2，故{}是公差等于2的等差數(shù)列，由此求得數(shù)列{a_n}通項公式．
（Ⅲ）由上可得 b_n=1-2a_n=．依題意 k≤（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n） 恒成立．設(shè)F（n）=（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n），利用單調(diào)性求得F（n）_min=F（1），故 k≤F（1），運算求得結(jié)果．
點評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列的函數(shù)特性，函數(shù)的恒成立問題，屬于難題．