Question

已知f（x）=a-

1

3x-1

是奇函數(shù)，則f（x）的值域為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：運(yùn)用奇函數(shù)的定義，求得a，再討論x＞0，x＜0時f（x）的范圍，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到值域．

解答： 解：f（x）=a-

1

3x-1

是奇函數(shù)，
則f（-x）+f（x）=0，
即有a-

1

3-x-1

+a-

1

3x-1

=0，
即2a=

3x

1-3x

+

1

3x-1

=-1，
解得，a=-

1

2

，
則f（x）=-

1

2

-

1

3x-1

，
由于x≠0，則當(dāng)x＞0時，3^x＞1，

1

3x-1

＞0，
-

1

3x-1

＜0，則f（x）＜-

1

2

，
由于f（x）為奇函數(shù)，則x＜0時，f（x）＞

1

2

．
則f（x）的值域為（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）
故答案為：（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運(yùn)用，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．