Question

已知函數(shù)f(x)=6x–6x²，設(shè)函數(shù)g₁(x)=f(x), g₂(x)=f［g₁(x)］, g₃(x)=f ［g₂(x)］,…g_n(x)=f［g_n–1(x)］,…
（1）求證:如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，滿足g₁(x₀)=x₀，那么對(duì)一切n∈N，g_n(x₀)=x₀都成立；
（2）若實(shí)數(shù)x₀滿足g_n(x₀)=x₀，則稱x₀為穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，試求出所有這些穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)；
（3）設(shè)區(qū)間A=（–∞,0）,對(duì)于任意x∈A，有g₁(x)=f(x)=a＜0, g₂(x)=f［g₁(x)］=f(0)＜0，
且n≥2時(shí)，g_n(x)＜0 試問是否存在區(qū)間B（A∩B≠），對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，只要n≥2，都有g_n(x)＜0.

Answer 1

(1)證明略， (2)穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)為0和（3）只要n≥2,n∈N，都有g_n(x)＜0

(1)證明: 當(dāng)n=1時(shí)，g₁(x₀)=x₀顯然成立；
設(shè)n=k時(shí)，有g_k(x₀)=x₀(k∈N)成立，
則g_k+1(x₀)=f［g_k(x₀)］=f(x₀)=g₁(x₀)=x₀
即n=k+1時(shí)，命題成立.
∴對(duì)一切n∈N,若g₁(x₀)=x₀，則g_n(x₀)=x₀.
（2）解:由（1）知，穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)x₀只需滿足f(x₀)=x₀
由f(x₀)=x₀，得6x₀–6x₀²=x₀,∴x₀=0或x₀=
∴穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)為0和.
(3)解:∵f(x)＜0，得6x–6x²＜0x＜0或x＞1.
∴g_n(x)＜0f［g_n–1(x)］＜0g_n–1(x)＜0或g_n–1(x)＞1
要使一切n∈N,n≥2，都有g_n(x)＜0，必須有g₁(x)＜0或g₁(x)＞1.
由g₁(x)＜06x–6x²＜0x＜0或x＞1
由g₁(x)＞06x–6x²＞1
故對(duì)于區(qū)間()和(1,+∞)內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,
只要n≥2,n∈N，都有g_n(x)＜0.