Question

甲、乙兩名同學(xué)的乒乓球友誼比賽，實(shí)行三局兩勝制．已知每局比賽中，若甲先發(fā)球，則獲勝的概率為

2

3

，否則其獲勝的概率為

1

2

．
（Ⅰ）若在第一局比賽中采用擲硬幣的方式?jīng)Q定誰先發(fā)球，試求甲在此局獲勝的概率；
（Ⅱ）若第一局由乙先發(fā)球，以后每局由負(fù)方先發(fā)球．規(guī)定：本人發(fā)球本人勝一局記1分，對(duì)方發(fā)球本人勝一局記2分，不論誰發(fā)球負(fù)一局記0分，記ξ為比賽結(jié)束時(shí)甲的得分，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）甲獲得發(fā)球權(quán)的概率為

1

2

，如果甲獲發(fā)球權(quán)，則他取勝的概率為

1

2

×

2

3

=

1

3

，若他未獲得發(fā)球權(quán)，則他獲勝的概率為

1

2

×

1

2

=

1

4

．由此能求出甲在此局獲勝的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（1）甲獲得發(fā)球權(quán)的概率為

1

2

，
如果甲獲發(fā)球權(quán)，則他取勝的概率為

1

2

×

2

3

=

1

3

，
若他未獲得發(fā)球權(quán)，則他獲勝的概率為

1

2

×

1

2

=

1

4

．
∴甲在此局獲勝的概率P=

1

2

×

2

3

+

1

2

×

1

2

=

1

3

+

1

4

=

7

12

．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
ξ=0表示乙連勝兩局，P（ξ=0）=

1

2

×

1

3

=

1

6

，
ξ=1表示第一局和第三局乙勝，第二局甲勝，P（ξ=1）=

1

2

×

2

3

×

1

2

=

1

6

，
ξ=2表示第一局甲勝，然后乙連勝兩局，P（ξ=2）=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

，
ξ=3表示第一局和第三局甲勝，第二局乙勝或第一局乙勝，然后甲連勝兩局，
P（ξ=3）=

1

2

×

1

2

×

2

3

+

1

2

×

2

3

×

1

2

=

1

3

，
ξ=4表示甲連勝兩局，P（ξ=4）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 6	1 6	1 12	1 3	1 4

∴Eξ=0×

1

6

+1×

1

6

+2×

1

12

+3×

1

3

+4×

1

4

=

7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．