Question

已知函數(shù)f（x）對于x＞0有意義，且滿足條件f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）是非減函數(shù)．
（1）證明f（1）=0；
（2）若f（x）+f（x-2）≥2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x=2，y=1，則f（2×1）=f（2）+f（1），得f（1）=0．
（2）由f（x）+f（x-2）=f（x²-2x）≥2，
而2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），得f（x²-2x）≥f（4）．
又∵f（x）為非減的函數(shù)，∴x²-2x≥4，即x²-2x-4≥0，
解得x≥1+或x≤1-．
又因為f（x）對x＞0有意義，故x．＞0且x-2＞0，即x＞2．
由以上知所求x的范圍為x≥1+．
分析：（1）令x=2，y=1，并代入f（xy）=f（x）+f（y），即可求出f（1）的值；
（2）令x=2，y=2，代入求得f（4），根據(jù)f（x）是非減函數(shù)和根據(jù)已知條件把f（x）+f（x-2）≥2化為f（x²-2x）≥f（4）．根據(jù)單調(diào)性及函數(shù)單調(diào)性的定義，去掉對應法則f，解不等式．
點評：此題是個中檔題題，考查抽象函數(shù)及其應用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．解決抽象函數(shù)的問題一般應用賦值法．