Question

如圖，在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=

2

，DA⊥PB，垂足為A，將△PAD沿AD折起到點P′，使得P′A⊥AB，得到四棱錐P′-ABCD，點M在棱P′B上．
（Ⅰ）證明：平面P′AD⊥平面P′CD；
（Ⅱ）平面AMC把四棱錐P′-ABCD分成兩個幾何體，當(dāng)P′D∥平面AMC時，求這兩個幾何體的體積之比

VP′M-ACD

VM-ABC

的值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由圖1中DA⊥P′B，可得折疊后DA⊥AB，DA⊥P′A，進而DC⊥P′A，DC⊥DA，由線面垂直的判定定理得到DC⊥平面P′AD，再由面面垂直的判定定理得到平面P′AD⊥平面P′CD；
（2）根據(jù)幾何圖形可知

P′M

MB

=

1

2

，求出四棱錐P′-ABCD的高為h，底面積為

1

2

×（1+2）×1=

3

2

，三棱錐M-ABC的高為h₀，底面積為

1

2

×2×1=1，

h0

h

=

2

3

，利用分割法求解體積，得出比值，

解答： 證明：（1）因為在圖a的等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，
所以在四棱錐P′-ABCD中，DA⊥AB，DA⊥P′A
又P′A⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥P′A，DC⊥DA，
而DA?平面P′AD，P′A?平面P′AD，P′A∩DA=A，
所以DC⊥平面P′AD
因為DC?平面P′CD，
所以平面P′AD⊥平面P′CD，
解：（2）∵在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=

2

，
∴AD=1，BD=

5

，BD與AC的交點為O，
可得OD=

5

3

，OB=

2 5

3

，
∵當(dāng)P′D∥平面AMC時，
∴P′D∥0M，
∴

h0

h

=

2

3

，
∵根據(jù)體積公式：

1

3

sh，
∴三棱錐M-ABC與四棱錐P′-ABCD的體積之比為

4

9

，
這兩個幾何體的體積之比

VP′M-ACD

VM-ABC

=

4 9

1- 4 9

=

4

5

點評：本題考察了空間幾何體的性質(zhì)，運用求解體積，面積，線段的長，分割法求解幾何體的體積，屬于難題．