Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinx-acosx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

3

，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）代點(diǎn)可求a值，可得解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin(x-

π

6

)，易得周期為T=2π，解2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

π

3

，1)，
∴

3

sin

π

3

-acos

π

3

=1，即

3

2

-

1

2

a=1，解得a=1．
∴f(x)=

3

sinx-cosx=2(

3

2

sinx-

1

2

cosx)=2sin(x-

π

6

)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin(x-

π

6

)．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=2π．
由2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z．
可得2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)公式和三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，屬基礎(chǔ)題．