Question

設函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（1）若a=1時函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若對任意的a∈[3，6]，x∈[-2，2]，不等式f（x）≤1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=1時，f（x）=x³+x²-x+m，化為m=-x³-x²+x有三個互不相同的實數(shù)根，求導確定單調性并求極值，由極值求實數(shù)m的取值范圍；
（2）求導，確定函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m在[-2，2]上的最大值，不等式f（x）≤1恒成立可化為-8+4a+2a²+m≤1，從而求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=x³+x²-x+m，
因為f（x）有三個互不相同的零點，所以f（x）=x³+x²-x+m=0，
即m=-x³-x²+x有三個互不相同的實數(shù)根，
令g（x）=-x³-x²+x，則g′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1），
易知g（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）上為減函數(shù)，在（-1，

1

3

）為增函數(shù)，
則g（x）的極小值：g（-1）=-1g（x）的極大值：g（

1

3

）=

5

27

，
則-1＜m＜

5

27

．
（2）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a），且a＞0，
∴函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（-a，

a

3

），遞增區(qū)間為（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）；
當a∈[3，6]時，

a

3

∈[1，2]，-a≤-3又x∈[-2，2]，
∵f（-2）-f（2）=4a²-16＞0，
∴f_max（x）=f（-2）=-8+4a+2a²+m，
又∵f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，
∴f_max（x）≤1，
即-8+4a+2a²+m≤1，
即m≤-2a²-4a+9在a∈[3，6]恒成立，
∴m≤-87．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，屬于基礎題．