Question

4．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，點A到x軸的距離等于|AF|-1．
（1）求拋物線C的方程；
（2）直線AF與C交于另一點B，拋物線C分別在點A，B處的切線交于點P，D為y軸正半軸上一點，直線AD與C交于另一點E，且有|FA|=|FD|，N是線段AE的靠近點A的四等分點．
（i）證明點P在△NAB的外接圓上；
（ii）△NAB的外接圓周長是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的性質(zhì)可知$\frac{p}{2}$=1，從而得出拋物線方程；
（2）（i）設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），E（x₃，$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$），由三點共線可得x₂，x₃與x₁的關(guān)系，求出P，N的坐標，利用向量證明AP⊥BP，AN⊥BN，從而可得A，B，P，N四點共圓；
（ii）利用基本不等式求出外接圓的直徑|AB|的最小值即可得出周長的最小值．

解答 解：（1）過A作AM⊥x軸，垂足為M，設(shè)拋物線的準線方程為：y=-$\frac{p}{2}$，
∴AF=AM+$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{p}{2}$=1，即p=2．
∴拋物線C的方程為：x²=4y．
（2）（i）設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
∵A，B，F(xiàn)（0，1）三點共線，∴$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}}=\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}}$，∴x₁x₂=-4，
由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，
∴切線AP的方程為：y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），
切線BP的方程為：y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂），
聯(lián)立方程組可得P（$\frac{{x}_{1}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$，-1），
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{{x}_{1}}{2}+\frac{2}{{x}_{1}}$，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+1），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{{x}_{1}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$，$\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$+1），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\frac{{x}_{1}}{2}+\frac{2}{{x}_{1}}$）（-$\frac{{x}_{1}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$）+（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+1）（$\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$+1）=0，
∴∠BPA=90°．
∵|FD|=|FA|=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+1，∴D（0，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+2），
設(shè)E（x₃，$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$），由A，D，E三點共線得：$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-2}{{x}_{1}}=\frac{\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-2}{{x}_{3}}$，
∴x₃=-x₁-$\frac{8}{{x}_{1}}$，
∵N是AE的靠近A的四等分點，
∴N（-$\frac{2}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{2}$，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$+1），
∴$\overrightarrow{NA}$=（$\frac{{x}_{1}}{2}$+$\frac{2}{{x}_{1}}$，-$\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$-1），$\overrightarrow{NB}$=（-$\frac{{x}_{1}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$，-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-1）．
∴$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=（$\frac{{x}_{1}}{2}$+$\frac{2}{{x}_{1}}$）（-$\frac{{x}_{1}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$）+（-$\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$-1）（-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-1）=0，
∴∠BNA=90°，
∴A，B，P，N四點共圓，
∴P在△ABN的外接圓上．
（ii）由（i）可知|AB|為△ABN的外接圓直徑．
∵|AB|=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+2=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}+2$≥2•|$\frac{{x}_{1}}{2}$|•|$\frac{2}{{x}_{1}}$|+2=4．
當且僅當|$\frac{{x}_{1}}{2}$|=|$\frac{2}{{x}_{1}}$|即x₁=±1時，取等號．
∴當x₁=1或-1時，△ABN的外接圓周長最小，最小周長為4π．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．