Question

S_n為數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和，且滿足b₁=1，

2bn

bnSn -S 2 n

=1（n≥2）．證明數(shù)列{

1

Sn

}成等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

(n≥2)，由此證得數(shù)列{

1

Sn

}成等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后可得S_n，再由
b_n=S_n-S_n-1（n≥2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 證明：由

2bn

bnSn -S 2 n

=1（n≥2），得2bn=bnSn-Sn2(n≥2)，
∴2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)Sn-Sn2（n≥2），
即2S_n-1-2S_n=S_n•S_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

(n≥2)．
∴數(shù)列{

1

Sn

}成以

1

2

為公差的等差數(shù)列，
則

1

Sn

=

1

b1

+

1

2

(n-1)=1+

n

2

-

1

2

=

n+1

2

．
∴Sn=

2

n+1

．
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

．
當(dāng)n=1時(shí)上式不成立．
∴bn=

1，n=1 - 2 n(n+1) ，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．