Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E為CD上一點，F(xiàn)為BE的中點，且DE=1，EC=2，現(xiàn)將梯形沿BE折疊（如圖2），使平面BCE⊥ABED．

（1）求證：平面ACE⊥平面BCE；
（2）能否在邊AB上找到一點P（端點除外）使平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為 ？若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在直角梯形ABCD中，作DM⊥BC于M，連接AE，

則CM=2﹣1=1，CD=DE+CE=1+2=3，

則DM=AB=2 ，cosC= ，則

BE= = ，sin∠CDM= ，

則AE= = ，

∴AE2+BE2=AB2，

故AE⊥BE，且折疊后AE與BE位置關(guān)系不變

又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，

∴AE⊥面BCE，

∵AE平面ACE，

∴平面ACE⊥平面BCE

（2）

解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F(xiàn)為BE的中點

∴CF⊥BE

又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，

∴CF⊥面ABED，

故可以F為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則A（ ，﹣ ，0），C（0，0， ），E（0，﹣ ，0），

易求得面ACE的法向量為 =（0，﹣ ，1）

假設(shè)在AB上存在一點P使平面ACE與平面PCF，

所成角的余弦值為 ，且 ，（λ∈R），

∵B（0， ，0），

∴ =（﹣ ， ，0），

故 =（﹣ λ， λ，0），

又 =（ ，﹣ ，﹣ ），

∴ =（ （1﹣λ）， （2λ﹣1），﹣ ），

又 =（0，0， ），

設(shè)面PCF的法向量為 =（x，y，z），

∴

令x=2λ﹣1得 =（2λ﹣1， （λ﹣1），0）

∴|cos＜ ＞|= = ，

解得

因此存在點P且P為線段AB中點時使得平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AE⊥平面BCE；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．