Question

已知(b-c)log_mx+(c-a)log_my+(a-b)log_mz=0,

(1)設(shè)a、b、c依次成等差數(shù)列,且公差d≠0,

求證:x、y、z成等比數(shù)列;

(2)設(shè)正數(shù)x、y、z依次成等比數(shù)列,且公比不為1,

求證:a、b、c成等差數(shù)列.

Answer 1

證明:(1)∵a、b、c成等差數(shù)列,且公差d不為0,

∴b-c=a-b=-d,c-a=2d,d≠0.

代入已知條件,得-d(log_mx-2log_my+log_mz)=0.

于是,有l(wèi)og_mx+log_mz=2log_my,

即y²=xz,且x>0,y>0,z>0.

故x、y、z成等比數(shù)列.

(2)∵x、y、z成等比數(shù)列,且公比不為1,

∴=q(q≠1),兩邊取對(duì)數(shù),得

log_my-log_mx=log_mz-log_my=log_mq≠0.

∴l(xiāng)og_mz-log_mx=2log_mq.

代入已知條件,得log_mq·(a-2b+c)=0,

∵q≠1,∴l(xiāng)og_mq≠0.

∴2b=a+c.故a、b、c成等差數(shù)列.