Question

（理科加試題）若二項(xiàng)式(

2

3 x

+

x

)n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第五項(xiàng)．
（1）求n的值；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，據(jù)題意當(dāng)r=4時(shí)x的指數(shù)為0，代入求出n的值．
（2）將n的值代入通項(xiàng)，求出通項(xiàng)的系數(shù)，設(shè)第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，令其大于等于前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于后一項(xiàng)的系數(shù)，利用組合數(shù)公式解不等式求出k的值，代入通項(xiàng)即可．

解答：解：（1）∵Tr+1=

C

r n

(

2

3 x

)n-r(

x

)r，
x的指數(shù)為-

n-r

3

+

r

2

=0，
∵(

2

3 x

+

x

)n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第五項(xiàng)，
∴r=4，
解得：n=10．　
（2）∵Tr+1=

C

r 10

(

2

3 x

)10-r(

x

)r，
其系數(shù)為C₁₀^r•2^10-r．
設(shè)第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則

C k 10 •210-k≥ C k+1 10 •29-k C k 10 •210-k≥ C k-1 10 •211-k

化簡(jiǎn)得：

2(k+1)≥10-k 11-k≥2k

即

8

3

≤k≤

11

3

，
∴k=3，
即第四項(xiàng)系數(shù)最大，T4=

C

3 10

•27•x-

5

6

=15360x-

5

6

．

點(diǎn)評(píng)：解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題常利用的工具是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；求二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的最大系數(shù)問題，常令其大于等于前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于后一項(xiàng)的系數(shù)，解不等式即可．