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已知矩陣A=
12
-14
．（1）求A特征值λ1，λ2及對應的特征向量
α1
，
α2
．（2）求A5
3
1
．
分析：（1）由特征值的定義f（λ）=|λE-A|=0，解方程即可．解出特征值，求對應的特征向量即求方程組的解．
（2）將
3
1
用
2
1
和
1
1
表達，由特征向量的性質即可求解．
解答：解：（1）f(λ)=
.
λ-1-2
1λ-4
.
=0?λ1=2，λ2=3，
當λ1=2時，
x-2y=0
x-2y=0
?
α1
=
2
1
，當λ2=3時，
2x-2y=0
x-y=0
?
α2
=
1
1

（2）令
3
1
=m
2
1
+n
1
1
，則
2m+n=3
m+n=1
?
m=2
n=-1
，A5
3
1
=A5(2
α1
-
α2
)=2
λ
5
1
α1
-
λ
5
2
α2
=64
2
1
-35
1
1
=
-115
-179
點評：本題考查矩陣的特征值和特征向量，及特征向量的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與點A，C重合），延長BD至點E．
求證：AD的延長線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=
12
-14

（1）求A的逆矩陣A-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標系與參數方程]
已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
（t為參數），求直線l被曲線C截得的線段長度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設a，b，c均為正實數，求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）（選修4-2 矩陣與變換）已知矩陣A=
12
-14
，向量
α
=
7
4
．
①求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2
；
②求A5
α
的值．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程求極坐標系中，圓ρ=2上的點到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距離的最小值．
（3）選修4-5；不等式選講知x，y，z為正實數，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時x，y，z的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•鹽城模擬）已知矩陣A=
12
-14
，求A的特征值λ1、λ2及對應的特征向量α1、α2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

選修4-2；矩陣與變換
已知矩陣A=
.
12
-14
.
，向量a=
.
4 
7 
.

（I）求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量a1、a2；
（Ⅱ）求A5α的值．

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