Question

已知A（1，3），B（5，-2），在x軸上有一點(diǎn)P，若||AP|-|BP||最大，則P點(diǎn)坐標(biāo)是

（13，0）

．

Answer 1

分析：作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C（5，2），延長(zhǎng)AC交x軸于點(diǎn)P₀，可得當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與P₀重合時(shí)，||AP|-|BP||最大．求出直線AC的方程，從而得到P₀的坐標(biāo)，即得所求點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C
∵B的坐標(biāo)為（5，-2），∴C坐標(biāo)為（5，2）
延長(zhǎng)AC交x軸于點(diǎn)P₀，可得
當(dāng)P與P₀不重合時(shí)，
在△PAC中，||AP|-|CP||＜|AC|=||AP₀|-|CP₀||
從而得出||AP|-|BP||=||AP|-|CP||＜||AP₀|-|CP₀||
當(dāng)P與P₀重合時(shí)，||AP|-|BP||=||AP₀|-|CP₀||=|AC|
∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與P₀重合時(shí)，||AP|-|BP||最大，最大值為A、C的距離
直線AC方程為

y-3

2-3

=

x-1

5-1

，化簡(jiǎn)得y=-

1

4

x+

13

4

令y=0，得x=13，可得P₀的坐標(biāo)為（13，0）
故答案為：（13，0）

點(diǎn)評(píng)：本題給出兩個(gè)定點(diǎn)，求x軸上的動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離差的最大值．著重考查了直線的方程、直線的位置關(guān)系和兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．