【題目】【天津市紅橋區(qū)重點中學八校2017屆高三4月聯(lián)考數(shù)學（文）】已知橢圓的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點恰好是拋物線的焦點

（1）求橢圓的方程；

（2）已知、是橢圓上的兩點， ， 是橢圓上位于直線兩側的動點.①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

②當， 運動時，滿足,試問直線的斜率是否為定值，請說明理由

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析: (1)由橢圓的離心率及短軸端點坐標求出 ,得到橢圓方程; (2)①設 設直線AB方程為 ，聯(lián)立直線與橢圓方程,消去 ,得到一個關于 的二次方程,求出 ,再求出 ,代入三角形面積公式,求出最大值; ②由 得到直線斜率之和為0，設直線 斜率為 ,則直線斜率為,直線 方程為,代入橢圓方程中,求出 的表達式,同理求出的表達式,再求出 的值,代入直線的斜率計算公式中,結果為定值.

試題解析:（1） ∴

∴ 又

∴ ∴ 橢圓方程為

（2）①設 ，

設方程 代入化簡

，

又、

當時， 最大為

②當時， 、斜率之和為.

設斜率為，則斜率為

設方程

代入化簡

同理

，

∴

直線的斜率為定值

練習冊系列答案
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【題目】按照國家環(huán)保部發(fā)布的新修訂的《環(huán)境空氣質量標準》，規(guī)定：PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，國家環(huán)保部門在2016年10月1日到2017年1月30日這120天對全國的PM2.5平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

組別

PM2.5濃度（微克/立方米）

頻數(shù)（天）

第一組

32

第二組

64

第三組

16

第四組

115以上

8

（1）在這120天中抽取30天的數(shù)據(jù)做進一步分析，每一組應抽取多少天？

（2）在（1）中所抽取的樣本PM2.5的平均濃度超過75（微克/立方米）的若干天中，隨機抽取2天，求恰好有一天平均濃度超過115（微克/立方米）的概率.

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求證：.

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