Question

【題目】已知函數(shù)， ．　

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)單調(diào)性；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，對任意的， ，且，有恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； ; （Ⅱ）見解析；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并且求的 值，判斷兩側(cè)的單調(diào)性，求極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， ，討論兩根和 的大小關(guān)系，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)，將不等式整理為 ，即說明函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，即恒成立，求的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

， ．

當(dāng)或時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

所以時(shí)， ；

時(shí)， ．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， ，

①當(dāng)，即時(shí)，由可得或，此時(shí)單調(diào)遞增；由可得，此時(shí)單調(diào)遞減；

②當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增；

③當(dāng)，即時(shí)，由可得或，此時(shí)單調(diào)遞增；由可得，此時(shí)單調(diào)遞減．

綜上：當(dāng)時(shí)， 增區(qū)間為， ，減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)， 增區(qū)間為，無減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)， 增區(qū)間為， ，減區(qū)間為．

（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，對任意的， ，且，有恒成立，

不妨設(shè)，則由恒成立可得： 恒成立，

令，則在上單調(diào)遞增，所以恒成立，

即恒成立，

∴，即恒成立，又，

∴在時(shí)恒成立，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，對任意的， ，且，有恒成立.