Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），（x≤1）}\\{2|x-5|-2，（3≤x≤7）}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的圖象上關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)有且僅有一對(duì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$[{\sqrt{3}，\sqrt{7}}）∪\left\{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}\right\}$．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)的圖象，利用已知條件列出關(guān)系式，然后求解a的范圍即可．

解答 解：作出如圖：，
因?yàn)楹瘮?shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g_a}（{2-x}）}&{（{x≤1}）}\\{2|{x-5}|-2}&{（{3≤x≤7}）}\end{array}，（a＞0且a≠1）$，
的圖象上關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)有且僅有一對(duì)，
所以函數(shù)y=log₂a，y=2|x-5|-2在[3，7]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)（3，2）點(diǎn)時(shí)，
由log_a3=2，解得a=$\sqrt{3}$；
當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)（7，2）點(diǎn)時(shí)，
由log_a7=2，解得a=$\sqrt{7}$．
當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)（5，-2）時(shí)，
由$lo{g_a}5=-2⇒a=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
所以a的取值范圍為$[{\sqrt{3}，\sqrt{7}}）∪\left\{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}\right\}$．
故答案為：$[{\sqrt{3}，\sqrt{7}}）∪\left\{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．