已知圓M：（x+
3
）2+y2=
225
16
的圓心為M，圓N：（x-
3
）2+y2=的圓心為N，一動圓與圓M內(nèi)切，與圓N外切．
（Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所求軌跡上是否存在一點Q，使得∠MQN為鈍角？若存在，求出點Q橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明理由．
分析：（I）根據(jù)動圓與圓M內(nèi)切，與圓N外切，得出則|PM|=
15
4
-r，|PN|=r+
1
4
，從而有根據(jù)|PM|+|PN|=4＞|MN|，橢圓的定義可得P點的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）先假設(shè)存在一點Q，并設(shè)Q（x，y），從而得出
QM
•
QN
=x2+y2-3＜0，然后與橢圓方程聯(lián)立并化簡得出x2＜
8
3
，即可得出結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動圓P的半徑為r，則|PM|=
15
4
-r，|PN|=r+
1
4

兩式相加得|PM|+|PN|=4＞|MN|
由橢圓定義知，點P的軌跡是以M、N為焦點，焦距為2
3
，實軸長為4的橢圓
其方程為
x2
4
+y2=1…（6分）
（Ⅱ）假設(shè)存在，設(shè)Q（x，y）．則因為∠MQN為鈍角，所以
QM
•
QN
＜0
QM
=(-
3
-x，-y)，
QN
=(
3
-x，-y)，
QM
•
QN
=x2+y2-3＜0
又因為Q點在橢圓上，所以
x2
4
+
y2
1
=1
聯(lián)立兩式得：x2+1-
x2
4
-3＜0化簡得：x2＜
8
3
，
解得：x∈(-
2
6
3
，
2
6
3
)，所以存在．…（13分）
點評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，得到|PM|+|PN|=4＞|MN|是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•麗水一模）如圖，已知圓M：（x-3）2+（y-3）2=4，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E、F分別為AB、AD的中點，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動，同時點F在邊AD上運動時，
ME
•
OF
的最大值是
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•麗水一模）如圖，已知圓M：（x-3）2+（y-3）2=4，四邊形 ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動時，
ME
•
OF
的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年陜西師大附中高考數(shù)學(xué)四模試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

如圖，已知圓M：（x-3）2+（y-3）2=4，四邊形 ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動時，的取值范圍是（ ）

A．
B．[-6，6]
C．
D．[-4，4]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年浙江省麗水市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

如圖，已知圓M：（x-3）2+（y-3）2=4，四邊形 ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動時，的取值范圍是（ ）

A．
B．[-6，6]
C．
D．[-4，4]

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